Permasalahan matematika yang melibatkan deret aritmetika memang seringkali membingungkan. Mengkaji lebih lanjut mengenai masalah ini, kita diinformasikan bahwa suku ke-5 dari deret aritmetika adalah 11. Dibarengi pula dengan informasi bahwa penjumlahan dari suku ke-8 dengan suku ke-12 adalah 52, informasi ini seolah memberikan kita serpihan dari sebuah teka-teki rumit.
Untuk menyelesaikan masalah seperti ini, kita harus memahami formula dasar dalam deret aritmetika. Dalam hal ini, rumus yang akan kita gunakan adalah:
- Suku ke-n suatu deret aritmetika: Un = a + (n-1) * b
- Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika: Sn = n/2 (2a + (n-1) * b)
dengan ‘a’ merupakan suku pertama, ‘b’ adalah beda antar suku, dan ‘n’ adalah posisi suku dalam deret tersebut.
Dari informasi yang diberikan, kita dapat menerapkan rumus daur ulang tersebut ke dalam konteks masalah kita. Kita tahu bahwa suku ke-5 adalah 11. Akan tetapi, kita belum tahu apa nilai dari ‘a’ dan ‘b’. Kita juga tahu bahwa jumlah suku ke-8 dan suku ke-12 sama dengan 52. Kita masih membutuhkan lebih banyak informasi untuk mengungkap misteri-misteri lain dari potongan masalah ini.
Rumus yang tepat yang dapat kita gunakan dalam situasi ini adalah rumus ke-n suku dalam deret aritmetika, Un = a + (n-1) * b. Mari kita pecahkan menjadi sistem persamaan linear dan selesaikan masalah tersebut.
Menurut rumusan tersebut, suku ke-8 dan suku ke-12 dapat dihitung sebagai berikut:
U8 = a + 7b
U12 = a + 11b
Kita tahu bahwa U8 + U12 = 52, atau (a + 7b) + (a + 11b) = 52. Setelah disederhanakan, didapatkan 2a + 18b = 52.
Kita dapat gunakan suku ke-5 yang diberikan dalam soal untuk mendapatkan persamaan lain, yaitu a + 4b = 11. Dengan mengurangi persamaan ini dengan persamaan pertama akan didapatkan 6b = 6, sehingga b = 1.
Substitusi nilai b = 1 ke dalam persamaan a + 4b = 11, kita dapatkan a = 7. Karenanya, suku pertama deret adalah 7 dan beda antar suku adalah 1.
Sekarang kita dapat menghitung jumlah dari 8 suku pertama menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, Sn = n/2 (2a + (n-1) * b). Substitusi nilai a = 7, b = 1, dan n = 8, kita dapatkan S8 = 8/2 (2*7 + (8-1) * 1) = 4 * (14 + 7) = 84.
Jadi, jawabannya adalah jumlah 8 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah 84.
